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II er rman n.
und dabei die Coefficienten der Potenzen auf die einfachste Gestalt
bringen. Bezeichnen wir die Bogenlänge mit a, so sind die vier zu
unseren Gebrauch erforderlichen Formeln folgende :
2. tang :
s 13 - z 15 + ...
6227020800 1307674368000
1 „ 2 . 17 „ 62 9 1382
3 f 15 + 315 + 2835 + 155925
43688 929569
12162150 + 638512875
o • 1 . , 3 . 5 35 . „
B. z = sin z + - sin 3 a + 7—• sin j a + —— sin 7 a + . sin 9 a +
6 40 112 1152
63 . „ 231 . „ 143 . ,,
25T6 Sml 3 + 13312 8111132 + 1Ö24Ö S111,J2 + -
= tgz — ^ tg% 1- \ tgäs — 1 tg 7 s + ^ tg »a— i tg >'a +
i_ t g 73 a-^tg»a + ...
4. a =
Soll die verlangte Grösse (Function oder Bogen) durch die
Entwickelung nur weniger Glieder der entsprechenden Formel schon
einen hohen Grad der Genauigkeit erreichen, so muss sich in den
Werthen der auf einander folgenden Glieder die Anzahl der Nullen
hinter dem Decimalzeichen schnell vermehren. In der Formel 1.
trägt hierzu die rasche Werthabnahme der Coefficienten wesentlich
bei, was bei den übrigen drei Formeln weit weniger der Fall ist.
Bei diesen drei Formeln muss demnach hauptsächlich die schnelle
Werthabnahme der angezeigten Potenzen in Betracht kommen, daher
a ein kleiner Bogen oder Winkel sein.
Da ich bei meinen theoretischen Untersuchungen oft in die
Lage kam, die Schärfe der Werthe für die Winkeibis zur 10. Decimale
der Secunde auszudehnen, so gelangte ich durch mühsame
Erfahrungen, wobei ich mich verschiedener Methoden bediente,
endlich zur Überzeugung, dass es im Allgemeinen am vortheilhaftesten
sei, jeden gegebenen oder zu bestimmenden Winkel zu
theilen, nämlich in zwei Winkel, wovon der erste («) die ganzen
Grade, und der andere (ö) als Ergänzungswinkel die Minuten und
Secunden sammt ihrem Decimalbruche enthält. Ist der Ergänzungswinkel
(b) grösser als 30', so kann man dessen Complement auf 1°,
somit für (a) den nächst grösseren Winkel in ganzen Graden nehmen,
