Integrale  etc.

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Gleichung  vierten  Grades  für  p  erschlossen,  wovon  der  gültige  Werth
zugleich  der  Gleichung  w  =  o  genügen  muss,  und  welche  erstere
Gleichung  durch  eine  cubische  ersetzt  wird.  Zugleich  ergibt  sich
für  ein  anderes  p  eine  zweite  Darstellung  der  Wurzeln,  welche  den
Vortheil  gewährt,  keine  Unterscheidung  bezüglich  der  Zeichen,
womit  die  Radicale  zu  behaften  sind,  wie  bei  der  ersteren,  zu  benöthigen.
  Es  werden  weiterhin  die  anderen  Gleichungen,  die  sich
noch  ergeben,  betrachtet,  wovon  eine  als  mit  der  Gleichung  w  =  o
identisch  erwiesen  wird.  Die  aus  der  Bedingung  der  repetirten
Wurzel  fliessende  Bedingungsgleichung  der  Coefficienten  wird  hierauf ­
  durch  eine  einfachere  ersetzt,  zu  welchem  Zweck  das  Stattlinden
zweier  Gleichungen  für  einen  besondern  Werth  von  p  untersucht
wird,  und  wobei  sich  zugleich  ergibt,  das  dieser  zweite  Werth  von  p
eine  repetirte  Wurzel  von  w  =  o  sei.
Im  vierten  Capitel  werden  die  Bedingungsgleichungen  für  drei
gleiche  Wurzeln  ermittelt,  und  die  erste  Bedingung  durch  eine
einfachere  ersetzt.  Ferner  wird  gezeigt,  dass  die  Gleichung  w  =  o
alsdann  drei  gleiche  Wurzeln  besitze,  und  zugleich  eine  Eigenthiimlichkeit
  erörtert,  vermöge  welcher  die  Form  der  vierten  Wurzel  vereinfacht ­
  wird.  Ebenso  wird  für  den  Fall,  dass  je  zwei  und  zwei
Wurzeln  gleich  wären,  eine  Gleichung  für  p  aus  der  Form  der  Wurzeln ­
  ermittelt,  und  von  ihr  wie  von  w  =  o  erwiesen,  dass  sie  unbestimmt ­
  sind.  Hierauf  werden  die  Bedingungsgleichungen  dieses  Falls
erörtert  und  auf  eine  Eigenthümlichkeit  einer  andern  Gleichung  gewiesen. ­
  Die  Behandlung  dieser  Fälle  ist  nöthig,  um  zu  zeigen,  dass
durch  dieselben  das  einfachste  Integral  nicht  zur  Lösung  vorbereitet
werden  könne,  indem  jeder  dieser  Fälle  zwei  Bedingungsgleichungen
voraussetzt;  dass  daher  das  Integral  nur  auf  Eine,  wenn  auch  langwierigere ­
  Weise  zur  Lösung  vorbereitet  werden  könne.
Im  fünften  Capitel  wird  endlich  der  Fall  untersucht,  wo  sich
die  biquadratische  oder  die  transformirte  Gleichung  nach  den  Regeln
einer  quadratischen  autlösen  lässt,  weil  dieser  Fall  in  der  späteren
Durchführung  des  Integrals  wesentlich  wird.  Es  wird  gezeigt,  dass
sich  dann  die  Bedingungsgleichung  einfach  dahin  gestalte,  dass  der
erste  Coefficient  der  Gleichung  co  =  o  zu  Null  wird,  wodurch  die
cubische  Gleichung  für  p  zur  quadratischen  wird;  wie  denn  auch
erwiesen  wird,  das  a)  der  Werth  p  =  o  kein  Werth  dieser  Gleichung
sein  könne,  und  b)  die  beiden  Werthe  von  p  einander  gleich  sein  müssen.
Sitab.  d.  mathem.-natunv.  CI.  I.  Bd.  28