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Peche.  Bestimmung  der

j  da;
J  \  (x"—a?)  (a; 3 —ß 3 )
zurückflihren.  Die  Behandlung  dieses  Satzes  ist  in  diesem  Capitel
die  schwierigste;  denn  sie  erfordert  in  der  Substitution  x  —  ■*, +  a "
b  +  u
die  zweckmässige  Wahl  der  unbestimmten  Grössen  a  und  b,  da  nur
bei  Einer  Wahl  diese  Zurückführung  möglich  ist.
Die  zweite  Hauptidee  wird  in  den  fünf  folgenden  Capiteln
behandelt.
Das  zweite  Capitel  beschäftigt  sich  mit  der  Bestimmung  der
Wurzelfactoren  eines  Ausdruckes  vierter  Abmessung.  Es  war  liier
wesentlich,  einen  neuen  Weg  in  der  Auflösung  der  algebraischen  Gleichungen ­
  vierten  Grades  einzuschlagen.  Derselbe  wurde  durch  Einführung ­
  zweier  Hilfsbögen  y  und  <p t  (wovon  eine  Function  von  f,
und  cp  eine  Function  der  Coefficienten  vorstellt)  eingeleitet.  Es  war
zugleich  von  Wesenheit  =  y  zu  bilden,  wodurch  die  Gleichung
einer  Transformation  bedurfte,  die  in  der  Verringerung  der  Unbekannten ­
  um  eine  Grösse  p  besteht,  die  wieder  durch  eine  cubische
Gleichung  w  =  o  bestimmt  wird.
Bei  der  Bestimmung  des  Werthes  y  kömmt  man  auf  den  Umstand,
dass  für  dasselbe  zwei  Wertlie  und  somit  acht  Ausdrücke  für  die
Wurzeln  resultiren.  Es  Hess  sieb  aber  erweisen,  dass,  wenn  die  Wurzeln ­
  für  den  ersten  Werth  von  f  durch  s 4 ,  z 2 ,  z 3 ,  s 4 ,  für  den  zweiten
durch  Zi,  Z 2 ,  Z 3 ,  Z 4  bezeichnet  werden,  folgende  Beziehungen
zwischen  den  Wurzeln  der  transformirten  Gleichung  stattfinden:
s 1  =  Z 3 ,  s 3  =  Z 4 ,  s 3  =  Z,,  2 4  =  Z a ;  wodurch  zugleich  die  Gelegenheit ­
  geboten  wird,  die  vier  Wurzeln  der  biquadratischen  Gleichung
ohne  Unterscheidung  von  Fällen  in  einer  sehr  bequemen  und  symmetrischen ­
  Form  anzuschreiben.  Da  überdies  durch  die  Gleichung
w—o  fürdrei  Wertlie  resultiren  und  die  Wurzeln  der  biquadratischen
Gleichung  als  Functionen  der  Coefficienten  und  des  p  dargestellt  sind,
so  war  zugleich  der  weitere  Beweis  nöthig,  dass  für  sämmtliche  p
die  Wurzeln  dieselben  Wertlie  behalten,  ohne  etwa  in  einander  zu
übergehen.  Denn  die  Gleichung,  die  die  Wertlie  von  p  liefert,  für
welche  die  Wurzeln  dieselben  Wertlie  behalten,  zeigt  sich  als  identisch ­
  mit  der  Gleichung  u>  =  o.
Das  dritte  Capitel  behandelt  den  Fall  der  repetirten  Wurzel.
Es  wird  aus  der  Vergleichung  der  dann  erscheinenden  Form  eine