Integrale  etc.

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x—  p  _i_  1  +  m y  +  n y  eingeleitet  werden;  dadurch  wird  zwar
der  irationale  Nenner  von  achter  Abmessung,  allein  es  sind  zugleich
fünf  unbestimmte  Grössen  eingeführt,  die  dem  Zwecke,  einer  einfachen
Lösung  gemäss,  bestimmt  werden  können;
3)  auf  der  Wahl  jener  Bedingungsgleichungen,  für  welche  eine
Zurückführung  des  einfachsten  Integrals  auf  bereits  gelöste  möglich ­
  wird.
Die  erste  Hauptidee  wird  im  ersten  Capitel  behandelt  und
stützt  sich  auf  drei  Lehrsätze:
A.  Die  Lösung  der  Integrale
?±Mda;  ,  r  ajiwd  x

C  x±1
J  VA  +  Bx  +

VA  +  B.v  +  Cx 2  +  Dx 3
kann  auf  die  der  Integrale

™ d /v

V  A+Bx  +  Cx 3  -f  Dx 3  +  Ex*

fr

V  (.c 2  —  a 2 )  (.r 2 —■  ß 2 )
zurückgeführt  werden.
Zur  Nachweisung  dieses  Satzes  war  es  nöthig,  zuerst  das
Integral
Ax

fr

V  A  +  Bx  +  Cx 2  +  Dx s  +  Ex*
zu  behandeln  und  dabei  den  gewöhnlichen  Gang  zu  verlassen,  weil
derselbe  bei  der  weiteren  Behandlung  der  allgemeinen  Integrale  nicht
mehr  brauchbar  wird;  ein  Umstand,  den  schon  Euler  bemerkt  und
der  ihn  wahrscheinlich  verleitete,  diesen  Gegenstand  voreilig  zu
verlassen.
B.  Sämmtliche  Integrale
x  —  n Ax

fr

V  (x 2 —a 3 )  (x‘—ß 2 )
sind  geschlossen  integrirbar,  sobald  dasselbe  von  den  beiden  Integralen
x 2 Ax

f  -  da:  und  f
J  V  (.r 2  —a 2 )  (x 2 ~ß 2 )  J\

gilt.

V  (a: 3 —a 3 )  (x 2 —/S 2 )

C.  Das  Integral

f

.r 3 d.r

lässt  sich  auf  das  andere

\  (x 2 —a 3 )  (x 2 —ß 2 )