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Uyll.  Elemente

den  Verlauf  des  gegenseitigen  Benehmens  ist  von  dem  grössten  Belange. ­
  Die  erste  Art  des  Zusammentreffens,  wo  nämlich  die  Rechnung
geometrische  Aufgaben  lösen  half,  schlug  fast  niemals  fehl  und  gab
eine  grosse  Anstelligkeit  des  algebraischen  Calciils  kund,  wenn  es
darauf  ankam,  die  Beträge  der  geometrischen  Grössen  durch  ihre
bedingenden  Momente  zu  beherrschen.  Man  fand  sogleich,  die  Rechnung ­
  müsste  zur  Erzielung  gar  mannichfacher  geometrischer  Leistungen ­
  ein  trefflicher  Bundesgenosse  sein.  Die  Begegnung  der  anderen
Art  hingegen,  wo  Aufgaben  der  Rechnung  sollten  geometrisch  gelöset
  werden,  liess  die  friedliche  Übereinstimmung  beider  nicht  lange
unverletzt  bestehen.  Die  Algebra  forderte,  dass  allen  aus  der  Rechnung ­
  sich  ergebenden  Bestimmungen  und  Umständen  der  Lösung,
durchgreifend  genaue  räumliche  Verwendung  gegeben  werde  —  die
Geometrie  aber  war  kaum  im  Stande,  auf  vereinzelten,  künstlichen
Wegen  auch  nur  den  Quantitäten  zu  entsprechen.  So  z.  B.  ist  aus
den  Eigenschaften  eines  Kreises  bekannt,  dass  die  Gleichung
Ak  .  B  k  —  in  k  .n  k  besteht,  welche  mittet ­
  {?/*=“ und  {2 k k2*  über s ellt  in
a.  b  =  x  (c  4-  x)  oder  x~  -|-  cx  =  ab;  woraus ­
  x  =  —  a  b  erfolgt.
Dies  ist  die  algebraische  Lösung  der  Gleichung ­
  x z  -\-  c  x  —  ab  —  o  nach  der  Grösse  x,  welche  offenbar
fordert,  dass  x  zwei  Werthe  haben  soll.  Diese  zwei  Werthe  sollen
verschieden  sein,  und  zwar  so  wie  dies  das  Vorzeichen  der  Wurzelgrösse ­



—1-ab  bedingt;  woraus  man  erkennt,  dass  nicht

nur  die  Zahlwerthe  verschieden  sind,  sondern  auch,  dass  während
der  Eine  (wegen  V4  -\-ab>}f  positiv  sein  muss,  der  Andere ­
  negativ  erscheint.  Die  Geometrie  soll  nun  diesen  Unterschied
sowohl  im  Zahlwerthe  als  in  dem  durch  das  Vorzeichen  bedingten
Gegensatz  ersichtlich  machen.  Allein  der  Zeichnung,  aus  welcher
die  Gleichung  folgte,  entspricht  nur  der  positive  Werth  x  =  Ic  in.
Sucht  man  auch  dem  negativen  Raum  zu  verschaffen,  so  wird  höchstens ­
  möglich,  unter  der  neuen  Voraussetzung,  dass  k  n  —  x  sei,
mithin  die  Gleichung  sich  in  x(x—c)—  a  b,  das  ist  x z —cx—ab=o