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Ryll.  Elemente

man  m  -+-  n  f  (ß)  —  r  f  (-y)  setzt,  auch  weiter  f  (9)  m  +  n  f  (/3)  =
f(ß}  rf O)  =  f  ( r  )  =  f  [m9  +  wö/^ß)];  folglich  die  weitere ­
  Regel  VII.  f  (m  9)  .  f  (ti  6  f  (ß)  )  —/'[md  +  nd/'  (J3)].
§.  9.  Es  kann  nunmehr  nicht  zweifelhaft  sein,  welchen  Einfluss
die  Rechnung  entwickeln  muss,  um  die  Lage  „als  besondere  Grösse”
zu  beherrschen.  Soll  nämlich  die  Lage  in  einer  Ebene,  wie  sie  durch
die  Gleichung  II.  gegeben  wird,  verändert  werden  können,  so  muss
bei  constantem  Werthe  6,  der  Exponent  n  sich  ändern,  damit  die
resultante  Grundgrösse  eine  andere  werde.  Die  Bedingung  hierzu
ist  die  Multiplication.  Werden  aber  Grössen  multiplicirt,  so  ändert
sich  die  Grundgrösse  der  Lage  mithin  auch  die  Lage  selbst  nur  additiv. ­
  Die  Lage  wird  also  hier  additiv  durch  die  Multiplication  alficirt;
und  überhaupt,  sie  wird  durch  jede  Rechnungsoperation  in  anderer
Art  beeinflusst,  als  Grössen  die  nur  in  Beziehung  auf  den  Zahlwerth
deren  Einflüsse  unterworfen  sind.  Der  relative  Unterschied  des  Einflusses ­
  der  Rechnung,  einerseits  auf  den  Betrag  der  Grössen,  andererseits ­
  auf  deren  Lage  besteht  aber  in  Folgendem:  Nennt  man,  nach
der  Cumulation  des  Grundactes  der  Operation,  die  Summirung  das
erste  Stadium  der  Rechnung,  die  Multiplication  das  zweite,  die  Potenz
das  dritte  Stadium,  so  ist  der  Einfluss  auf  die  Lage,  gegenüber  jenem
auf  den  Betrag,  allzeit  um  ein  Stadium  zurück.  Es  ist  jedoch  nothwendig
  dieses  nur  auf  eingliedrige  Ausdrücke  zu  beziehen  und
keineswegs  auf  Polynome  auszudehnen,  da  das  Verhalten  der  letzteren
nicht  mehr  einfach,  also  keine  Grundart  des  besagten  Verhältnisses
ist,  und  erst  später  zur  Sprache  kommen  kann.  Soll  aber  weiter  die
Ebene  selbst  ihre  Lage  ändern,  so  muss  die  Rechnung  einen  Einfluss
entwickeln,  dem  nicht  der  Zahlwerth,  sondern  dem  die  Lage  des
Exponenten  (s.  Gl.  V.)  erreichbar  wird.  Die  Bedingung  hierzu  ist
ein  multiplicatives  Zusammentreffen  solcher  Lagen  im  Exponenten,
die  von  f  (0)  verschieden  sind.  Gesetzt,  diese  Bedingung  sei  erfüllt,
so  wird,  wenn  man  die  Form  V.  f  (9)  n  f  (ß)  —  f  (n  9  f  (ß)  )  vor
Augen  hat,  die  Lage  f  ([3)  sich  ändern;  es  tritt  also  auch  die  Ebene
von  n  6  in  andere  und  andere  Lagen  ein.  Setzt  man  hinzu,  dass
dieses  in  kleinen  Intervallen,  oder  völlig  stetig  und  suceessiv  geschieht,
so  gewinnt  man  die  Darstellung  einer  in  Folge  der  Rechnungsoperation ­
  sich  um  eine  Axe  umwälzenden  Ebene,  welche  Axe  eben  die
absolute  Zahlenlinie  ist,  in  welcher  die  Nullpunkte  der  absoluten
Grössen  so  der  ersten  wie  der  zweiten  Art  enthalten  sind.