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Ryll.  Elemente

Die  Umstände  der  Entstehung  nun,  und  die  Bedeutung  dieser  Function
sind  vermöge  mehrerer  klaren  Momente  der  Natur  der  Sache  geeignet, ­
  zur  Wahrnehmung  einiger  Grundeigenschaften  von  f  (0)  zu
führen.
§.  S.  Bemerkt  man,  dass  jede  Lage  f  (6)  dadurch  mit  Nothwendigkeit
  in  ihre  entgegengesetzte  übergeht,  dass  man  ihre  Grundgrösse ­
  0  um  was  immer  für  eine  ungerade  Anzahl  von  r.  vermehrt,
so  wird  alsogleich  die  erste  Grundeigenschaft  klar
*•  —f  (S)=/t 0  ±  ( 2 /7  +  1  >]»
worin  g  eine  ganze  Zahl  sein  muss;  d.  h.  jede  Lage  f  (6)  geht  dadurch ­
  in  ihre  entgegengesetzte  —  f  (0)  über,  dass  zu  der  Grundgrösse ­
  0  eine  ungerade  Anzahl  Halbkreise  hinzugefügt  wird.
Weiter.  Gesetzt,  zwischen  den  Linien
A,  M,  N,  P,.  ..,  Y,  Z,  liegt  überall  der
Divergenzbogen  oder  Winkel  0,  und  ist  n
mal  vorhanden,  weil  auch  die  abgewichenen
Linien  von  H'l  bis  Z  einschliesslich  n  an  der
Zahl  sind.  Bezieht  man  die  sämmtlichen
Lagen,  um  sie  unter  einander  unabhängig  zu
erhalten,  auf  die  absolute  Lage  A,  so  erhält  man  in  dieserBeziehung
M=AL/-(0);iV=A/-(20);  P=Af(26);  ..  .;  Y=Af((n—1)0);
Z==A  f  (n  0).  Bezieht  man  aber  durch  Beeursion  jede  der  abgewiclienen
  Lagen  auf  die  ihr  zunächst  vorhergehende,  gleichwie  wenn
diese  eine  absolute  wäre,  was  erlaubt  sein  muss,  da  die  absolute
Lage  keine  im  Raume  determinirte  ist,  so  erhält  man  auf  gleiche  Art
M=A/-(0);  N—M  f  (0);  P=N  f  (0);..  .;  Y=X  f  (?)■,  Z=T
f  (0).  Wird  nun  der  Ausdruck  Z=Y  f  (0)  durch  recursive  Substitution ­
  aller  vorhergehenden  bis  auf  den  ersten  so  transformirt,  dass
nur  A  darin  übrig  bleibt,  die  Lage  von  Z  also  wieder  nur  auf  A  bezogen ­
  erscheint,  so  findet  sich  alsdann  Z—A  f(0).  /"(ö).  /T®)-  f  (P)
..  .  f  (0)=^l[y  (0)]".  Und  vergleicht  man  den  ersten  independenten
Ausdruck  Z—A  f  (n  0)  mit  dem  hier  erhaltenen,  so  geht  daraus  A
|'f  (0)] n =A  f  (n  0),  und  kürzer
II.  f  (ßy=f  (n  0)
hervor.  Dies  ist  die  zweite  Grundeigenschaft  der  Lagefunction.
Die  Gleichung  II.  lässt  sich  aber  sofort  auch  für  gebrochene
Werthe  von  n  geltend  machen,  wodurch  dann  ihre  Richtigkeit
für  jeden  absoluten  Zahlwerth  des  Exponenten  n  in  Anspruch