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Ryll.  Elemente

alle  Schwierigkeiten  des  Calciils  klar  werden,  und  unter  welchem
ein  einfaches  geometrisches  System  eben  so  natürlich  als  widerspruchlos ­
  zu  Stande  kommt.  Ich  kehre  nunmehr  zu  der  oben  angefangenen ­
  Erörterung  zurück,  weil  darin  der  eben  ausgesprochenen
Wahl  gemäss  bereits  eine  Raumlinie  als  Rechnungsgegenstand  aufgenommen ­
  ist.
§.  2.  Die  Linie  gX  hat  ihren  Endpunkt,  sowie  auch  die  Summande
  X  den  ihrigen  hatte.  Der  Endpunkt  von  gX  erscheint  nicht
dort,  wo  jener  von  X  war  —  er  ist  offenbar  versetzt.  Und  dieses  rührt
von  der  geschehenen  Operation,  mithin  von  g  dem  Faktor  von  Xlier.
Die  Zahl  vermag  also  einen  Raumpunkt  zu  versetzen,  zwar  nicht  unbedingt ­
  aber  die  Bedingung  liegt  nunmehr  klar  vor  Augen:  sobald  nämlich ­
  eine  Linie  zum  Gegenstand  der  Operation  genommen  wird.  Man
kann  dieses  Object  modificiren  und  die  Leistungen  der  Zahl  oder
Operation  auch  in  dem  Fall  ins  Auge  fassen,  wann  nicht  eine  gerade
Linie,  sondern,  wann  ein  Raumort  (Punkt)  zum  Gegenstand  genommen ­
  wird.  Dieses  wird  durch  die  Fähigkeit  des  X  möglich,  alle
Grössen  einer  geraden  Linie  vorzustellen.  Wenn  auch  X  für  sich
einen  unbeträchtlichen  endlichen  Werth  besitzt,  —  durch  mehr  und
mehrmalige  Hinzufügung  zu  ihm  selbst  kann  man’s  doch  zu  den  grössten
Werthen  der  Summe  gX  bringen,  der  Endpunkt  von  gX  kann  selbst
bis  ins  Unendliche  fortgerückt  werden.  Er  kann  also  jede  beliebige
Entfernungsgrösse  übersteigen.  Aber  gX  kann  auch  jede  beliebige
Grösse  erreichen.  Denn  je  kleiner  X  wird,  desto  kleiner  werden
auch  die  Intervalle  zwischen  zwei  unmittelbar  auf  einander  folgenden
Hinzufügungen  desselben,  mithin  desto  weniger  Orte  in  jedem  Intervall ­
  enthalten.  Verkleinert  man  X  ins  Unendliche,  so  werden  die
Intervalle  verschwindend  klein,  gehen  in  blosse  Punkte  über,  die
Menge  der  zwischen  dem  Anfangs-  und  Endpunkt  von  X  enthaltenen
Orte  ist  gleichfalls  verschwindend  klein  geworden;  man  kann  also
durch  die  obige  Operation  keinen  Ort  mehr  überspringen,  d.  h.  man
trifft  dann  stetig  jeden  Grössenwerth.  Zwar  wird  alsdann  g  vielleicht
unendlich  gross  werden  müssen,  ehe  gX  den  Werth  1  oder  irgend
einen  anderen  kleinen  endlichen  Werth  erreicht;  allein  dennoch  ist
es  immer  nur  die  Zahl  g,  welche  die  Versetzung  des  Endpunktes  von
gX  exhibirt  und  ist's  die  Operation,  welche  das,  was  durch  die  Zahl
exhibirt  wird,  bewirkt.  Der  durch  Operation  bis  auf  die  Entfernung
gX  stetig  versetzte  Punkt  X  kann  aber  durch  die  weitere  Operation