clor  Taylo  r’schon  Formel.

243

und  [("_})  +  ("_?)  +  (7-_'i)  +  ••..  +  1  ]A %
<1.  h.  wie  man  mittelst  oben  benützter  Eigenschaft  der  Grössen  von
der  Form  leicht  sieht,
zwischen  A r w t  und  (7}a’w s .
Lässt  sich  dem  in  der  Grössenfolge  u 0 ,  u,,  u 2 ,  .  .  .  .  herrschenden ­
  Gesetze  gemäss  A r n„  als  eine  Function  von  n  darstellen,
welche  durch  F(n)  angedeutet  werde,  so  lassen  sich  obige  Ausdrücke
als  besondere  Werthe  der  Functionen
(n—r  +  1)  (^rr 1 )  F(z)
und  (")f(s)
für  z  —  k  und  s  =  g  betrachten.
Ändert  sich  F  (s),  während  cs  vom  Werthe  k  zum  Werthe
g  stetig  übergeht,  gleichfalls  nach  dem  Gesetze  der  Stetigkeit,
so  gibt  es  sicher  einen  zwischen  k  und  g,  also  um  so  mehr  zwischen
0  und  n—r  liegenden  Werth  für  cs,  bezüglich  dessen
+  I)( n 7l7 1 )* , .(s)
oder  auch
(”  )*•(*)
gesetzt  werden  darf,  wobei  natürlich  der  Werth  von  5  im  zweiten
Falle  von  jenem  im  ersten  verschieden  gedacht  wird.
Die  Anwendung  dieser  Resultate  auf  die  Herstellung  der  Taj r -
lor'schen  Formel  sammt  ihrer  Ergänzung  unterliegt  keiner  Schwierigkeit. ­
  Hierüber  darf  ich  mich  hier  wohl  ganz  kurz  fassen.
Setzt  man  11  „  =  f  (x'4-  nw),  also  n a  —  /"(a?)
wobei  f  (a?)  irgend  eine  durchgehends  angebhare  Function  der
Veränderlichen  x  vorstellt,  und  lässt  man  nw  —  h  sein;  denkt  man
sich  ferner  h  als  eine  bestimmte  Grösse  und  die  ganze  Zahl  n  ins
Unendliche  wachsend,  foglich  w  =  ~  unendlich  klein  werdend,  so
ergibt  sich  auf  die  bekannte  Weise  unter  der  Voraussetzung  der
Stetigkeit  der  Function  f  (a:)  und  ihrer  Difterentialquotienten  in  der
Gegend  des  für  x  gewählten  Werthes
f  (x  ■+•  h  =  f  (a?)  -|-  h  lim.  ~  lim.  ^  +  ...  .
!  «>  1.2  w i

16*