der T a y 1 o r’sclien Formel.
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nirgends durch den Druck veröffentlicht habe, so dürfte es nicht
unpassend erscheinen, wenn ich dasselbe jetzt noch der hochverehrten
Classe zur Aufnahme in unsere Sitzungsberichte vorlege.
Bezeichnet man die Glieder irgend einer Reihe, oder auch nur
regellosen Grössenfolge mit
u 0 , U i9 Wj j ^3 5 • • • • • • •
und die Glieder der daraus hervorgehenden Differenzreihen mit
Aw„, Am,, Attj, Au 3 , .... Am,,, ....
A 2 w„, A 2 m 1 , A 2 «a, A 2 m 3 A 2 m„, ....
u. s. w., ,
wobei jede dieser Reihen aus der vorhergehenden entsteht, wenn man
daselbst jedes Glied von dem nächstfolgenden abzieht, so lässt sich auf
die allbekannte Weise zeigen, dass jedes Glied u n der Grundreihe durch
«o, Aw 0 , A 2 w 0 , etc. bis A m m 0 , mittelst einer Formel von der Gestalt
u n = w 0 -j- A t Am 0 "f - A-m 0 -j- ....
. . . . -j- Ar A r « 0 —[— .... —(— A”w 0
ausgedrückt wird, wobei die Coefficienten A lt A. z , .... Ar, ....
von der Beschaffenheit der Grundreihe unabhängige positive ganze
Zahlen sind, deren stufenweise Berechnungmittelst des Pascal’schen
Zahlendreieckes vollzogen werden kann.
Um die Zusammensetzung jedes dieser Coefficienten, wie Ar,
aus den einzig und allein darauf einflussnehmenden Elementen ?iund r
ausfindig zu machen, bedenke man, dass für eine Reihe, bezüglich
welcher die Grössen
u 0 , Am„, A 2 it 0 , .... bis A’’“ 1 «,,
sämmtlich = 0 wären, ferner
A r « 0 von Null verschieden bliebe, und endlich
A r+1 M 0 , A r + 2 i/ 0 , .... bis A"m 0
wieder sämmtlich = 0 ausfielen, obige Formel sich auf
u n = Ar A r u 0
reduciren würde, woraus man sogleich
erhielte.
Sollen die Grössen w„, Aw 0 , A 2 m 0 , etc. bis A r ~ 1 n 0 versclnvinden,
so müssen auch u t , u % , u 3 , etc. bis w r _i sämmtlich == 0 sein. Es
wird also für w„ eine Function von n zu wählen sein, welche sich auf
Null reducirt, wenn man entweder
