Abhandlung:  die  Auflösung  der  Gleichungen  betreffend.  197
kommnung  der  Newt  o  n'schen  Methode,  er  bereicherte  die  Wissenschaft ­
  auch  durch  bedeutende  Verbesserungen  an  dem  numerischen
Calcul,  welchen  die  Bestimmung  der  reellen  Wurzel  fordert.  Allein
dieser  Vorzüge  ungeachtet,  trägt,  wie  ihr  Vorbild,  die  Newton’sche,
auch  diese  Fo  uri  ersehe  in  sofern  noch  nicht  das  Gepräge  der  Vollkommenheit ­
  an  sich,  indem  diese,  wie  jene,  bereits  auf  einen  gewissen ­
  Grad  genäherte  Grenzwertlie  voraussetzt,  um  sogleich  zur  Anwendung ­
  des  approximativen  Verfahrens  fortschreiten  zu  können.
Dies  wird  nämlich  nur  dann  der  Fall  sein  können,  wenn  für  die
beiden  Grenzwerthe  a,  b  einer  Wurzel  der  Gleichung,  die  wir  mit  f
(ar)  =  o  vorstellig  machen  wollen,  noch  die  besondere  Bedingung
erfüllt  ist,  dass,  während  diese  Gleichung  zwichen  a  und  b  nur  eine
reelle  Wurzel  liegen  hat,  die  beiden  Gleichungen  f  (a?)  =  o  und  f“
(m)  =  o  in  eben  demselben  Intervall  keine  Wurzeln  haben.  Man
muss  daher,  wenn  dies  noch  nicht  der  Fall  wäre,  das  Intervall  a  .  .b
so  lange  durch  einen  oder  mehrere  Mittel  wert  he  theilen,  bis  man  zu
zwei  Grenzwerthen  gelangt,  für  welche  die  erwähnten  Bedingungen
erfüllt  sind.  Von  diesen  aus  beginnt  hierauf  das  geregelte  Verfahren
der  approximativen  Bestimmung,  der  in  diesem  Intervall  liegenden
reellen  Wurzel.  Diesem  Übelstande  ist  von  Caucliy  durch  zwei  allgemeine ­
  Methoden,  deren  eine  am  22.  und  29.  Mai  1837,  und  die
andere  am  4.  September  desselben  Jahres  der  Akademie  der  Wissenschaften ­
  zu  Paris  vorgelegt  wurde,  begegnet  worden,  indem  durch
deren  Anwendung  aus  je  zwei,  wenn  gleich  noch  so  entfernten
Grenzwerthen  a  und  b  einer  Wurzel  allezeit  nähere  Wertlie  derselben ­
  erhalten  werden,  während  die  Anwendung  des  F  o  u  r  i  e  r’sehen
Verfahrens,  wenn  die  oben  erwähnten  Bedingungen  für  die  beiden
Grenzwerthe  a  und  b  noch  nicht  erfüllt  wären,  eine  solche  Bestimmung ­
  dadurch  unsicher  macht,  dass  man  sich,  anstatt  dem  wahren
Wertlie  der  Wurzel  näher  zu  kommen,  zuweilen  von  ihr  auch  wieder
entfernt.  Zur  Erreichung  desselben  Zweckes  lassen  sich  auch  noch  die
mannigfaltigen  Formeln  der  Mathematik  gebrauchen,  als  die  continuirlichen
  Brüche,  die  recurrenten  Reihen,  die  Producte  mit  unendlichen
Factorenfolgen,  insbesondere  die  der  binomischen  Factoren  von  der
Form  (1  +  ~)  (1  +  i | 0 )  (1  +  10 7 (Fo )  •  •  •,  worin  cc,  ß,  y,  ...  einzilll'erige
  Zahlen  bedeuten,  und  mehrere  andere,  und  sind  zum  Theil
in  der  That  dazu  verwendet  worden,  wie  die  erste  von  Lagrange,