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St  a  mp  f  er  und  B  u  r  g.  Gutachten  über  Mot  h’s

zwischen  welchen  jede  einzelne  von  ihnen?  Welches  sind  nämlich  die
einzelnen  Intervalle,  die  so  beschaffen  sind,  dass  jedes  von  ihnen  nur
eine  einzige  Wurzel  enthält?  Da  man  übrigens  die  Mittel  kennt,  die
Auflösung  einer  Gleichung,  wenn  solche  vielfache  Wurzeln  besitzt,
von  der  Auflösung  einer  andern  abhängig  zu  machen,  deren  sämmtliche
Wurzeln  nur  einfache  sind,  so  sieht  man  sich  mittelst  der  erwähnten
Lehrsätze  in  den  Stand  gesetzt,  die  reellen  Wurzeln  einer  Gleichung
dergestalt  von  einander  zu  trennen,  dass  für  jede  aus  ihnen  zwei
Grenzwerthe  angegeben  werden  können,  zwischen  denen  nicht  mehr
Wurzeln  liegen,  als  eben  nur  diese  eine.  Bezüglich  der  reellen
Wurzeln  einer  Gleichung  ist  daher  der  erste  Theil  der  Aufgabe  von
der  Auflösung  der  Gleichungen  mit  numerischen  Coefficienten  als
vollständig  gelöst  zu  betrachten.
Kennt  man  nun  zwei  Grenzen,  zwischen  welchen  eine  reelle
Wurzel  einer  bestimmten  Gleichung  liegt,  und  ist  man  versichert,
dass  in  diesem  Intervalle  keine  andere  Wurzel  dieser  Gleichung
mehr  liegt;  alsdann  ist  es  noch  erforderlich,  Wertlie  zu  bestimmen,
denen  sich  die  Wurzel  immer  mehr  und  mehr  nähert,  um  zur  Kenntniss
  aller  Ziffern  zu  kommen,  durch  welche  dieselbe  ausgedrückt
wird,  wenn  die  Anzahl  dieser  Ziffern  begrenzt  ist,  oder  doch  so  viele
genaue  Ziffern,  als  man  will  zu  finden,  das  heisst,  es  ist  erforderlich,
den  Werth  der  Wurzel  annäherungsweise  zu  berechnen.  Dieser
Zweck  kann  durch  verschiedene,  mehr  oder  weniger  weitläufige
Rechnungen  erfordernde  Verfahrungsarten  erreicht  werden.  Ein
erstes  Mittel  bietet  die  bereits  erwähnte  Newton’sche  oder  lineare
Annäherungs-Methode  dar.  In  seinem  berühmten  Werke  über  die
Auflösung  der  numerischen  Gleichungen  hat  Lagrange  bereits
angezeigt,  dass  diese  Methode  in  der  Form,  wie  sie  von  Newton
gegeben  worden  ist,  unvollständig  sei,  indem  sie  kein  Merkmal
darbietet,  woran  sich  die  Richtigkeit  der  Annäherung  jedesmal  mit
Gewissheit  erkennen  lasse,  und  hat  hinzugefügt,  dass  es  sehr  schwer,
vielleicht  seihst  unmöglich  sei,  a  priori  ein  Merkmal  zu  linden,  wornach
  sich  beurtheilen  liesse,  ob  die  Bedingung  der  Convergenz  der
Operation  erfüllt  sei  oder  nicht.  Diese  wichtige  Frage  ist  jetzt  durch
Fourier's  Bemühungen  vollständig  gelöst,  so  dass  die  lineare
Approximation  immer  anwendbar  ist,  und  eine  vollständige  Kenntniss
des  gesuchten  Werthes  einer  reellen  Wurzel  erreichen  hilft.  Diesem
Geometer  verdanken  wir  aber  nicht  bloss  diese  wichtige  Vervoll-