Abhandlung:  die  Auflösung  der  Gleichungen  betreffend.  19!>
für  Gleichungen  bis  zum  vierten  Grade  besitzt,  wird  man  wobt  in
den  seltensten  Fällen,  und  etwa  nur  mit  Ausnahme  der  quadratischen,
von  einer  solchen  mit  Vortheil  Gebrauch  machen  können,  um  zur
Kenntniss  der  Wurzeln  dieser  Gleichungen  zu  gelangen.  Ungleich
wichtiger  für  die  Anwendung  sind  daher  jene  Methoden,  welche  die
Werthe  der  Wurzeln  annäherungsweise  bestimmen  lehren.  Soll  aber
eine  solche  Methode  an  die  Stelle  einer  strengen  Auflösung  der  Gleichungtreten ­
  können,  so  muss  dieselbe  nicht  bloss  jeden  möglichen  Grad
der  Genauigkeit  erreichbar  machen;  es  ist  auch  noch  notlnvendig,
dass  man  sichere  Kennzeichen  zur  Beurtheilung  des  jedesmal  erreichten ­
  Grades  dieser  Genauigkeit  besitze.  Die  von  Fourier
vervollkommnete  lineare  Annäherungs-Methode,  welche  zuerst  von
Newton  in  minder  vollkommener  Form  angewandt  worden  ist,  die
reellen  Wurzeln  der  Gleichungen  mit  numerischen  Coefficienten  zu
erhalten,  entspricht  nicht  nur  jenen  Forderungen,  sondern  empfiehlt
sich  aucli  durch  Einfachheit  des  zu  führenden  Calculs.  Kennt  man
nämlich  den  Werth  einer  reellen  Wurzel  einer  gegebenen  Gleichung
mit  numerischen  Coefficienten  bis  zu  einem  bekannten  Grade  der
Genauigkeit,  alsdann  liefert  eine  zwei-  oder  mehrmal  wiederholte
Anwendung  der  Operationen,  welche  die  genannte  Methode  vorschreibt, ­
  immer  mehr  und  mehr  Stellen  von  dem  in  Decimalbruchform
ausgedrückten  Werthe  der  Wurzel,  die  dem  wahren  Werthe  angehören, ­
  wobei  die  Menge  dieser  Stellen  mit  der  Anzahl  dieser  Wiederholungen ­
  in  einer  geometrischen  Progression  wächst  und  zugleich
über  den  erlangten  Grad  der  Genauigkeit  der  Wurzel  mit  befriedigender ­
  Vollständigkeit  Rechenschaft  gegeben  werden  kann.  Nach
dem  gegenwärtigen  Stande  der  Theorie  der  Gleichungen  mit  numerischen ­
  Coefficienten  zerfällt  deren  Auflösung  in  zwei  wesentlich
von  einander  verschiedene  Tlieile,  deren  einer  sich  mit  der  Trennung
der  Wurzeln  einer  Gleichung,  der  andere  aber  mit  der  numerischen
Berechnung  der  getrennten  Wurzeln  beschäftigt.  Die  von  Sturm,
Fourier  und  Cauchy  entdeckten  Lehrsätze  setzen  uns  in  den
Stand,  in  jedem  besoiulern  Falle  einer  Gleichung  mit  numerischen
Coefficienten,  sofern  dieselben  nur  reelle  Zahlen  sind,  folgende
Fragen  entscheidend  zu  erledigen:  Hat  eine  vorgelegte  Gleichung
reelle  Wurzeln  oder  besitzt  sie  keine  derselben?  Wenn  reelle  Wurzeln
vorhanden  sind,  wie  gross  ist  die  Menge  derselben?  Zwischen
welchen  Grenzen  liegen  diese  reellen  Wurzeln  insgesammt,  und
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