Callet’schen  Logarithmen  etc.

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merkwürdigste  Fall  in  dieser  letzteren  Beziehung  ergibt  sich  bei
den  dritten  Differenzen  84032  und  84056  des  log.  101098  und
log.  101099,  wo,  statt  einer  Abnahme  von  2  oder  3,  sogar  eine
Zunahme  von  4  zum  Vorscheine  kommt.
Diese,  bei  einem  flüchtigen  Überblicke  schon  erkennbare,
Unnatürlichkeit  der  Callet'schen  dritten  Differenzen  ist  die  nothwendige
  Folge  des  gewöhnlichen  Verfahrens  hei  der  Differenzen-Bestimmung,
  indem  man  die  Logarithmen  (oder  in  andern  Fällen  die
Glieder  der  Hauptreihe)  auf  die  verlangte  Anzahl  der  Decimalen
(hier  20)  streng  beschränkt,  und  sodann  aus  den  Logarithmen  die
ersten  Differenzen,  aus  diesen  die  zweiten  u.  s.  w.  ableitet.  Da  aber
die  letzte  Decimale  der  Logarithmen  (wegen  der  Weglassung  der
nachfolgenden  Decimalen)  entweder  etwas  zu  gross  oder  zu  klein
sein  muss,  so  können  diese  unvermeidlichen  Unrichtigkeiten,  obwohl
sie  einzeln  nur  höchstens  eine  halbe  Einheit  (und  selbst  diese
niemals  ganz)  betragen,  bei  den  auf  einander  folgenden  5  Logarithmen, ­
  welche  zur  Bestimmung  einer  vierten  Differenz  erforderlich
sind,  so  beschaffen  sein,  dass  sie,  in  Folge  der  wiederholten  Subtractionen,
  den  Werth  der  vierten  Differenz  schon  um  mehrere
Einheiten  vergrössern  oder  verkleinern,  und  hierdurch  bis  zur
Unnatürlichkeit  entstellen.
Das  einfache  Mittel,  möglichst  richtige  Differenzen  zu  erhalten,
besteht  darin,  die  Logarithmen  mit  2  Decimalen  über  die  verlangte
Anzahl,  d.  h.  im  vorliegenden  Falle  mit  22  Decimalen,  zu  berechnen,
aus  diesen  sodann  die  Differenzen  nach  der  gewöhnlichen  Weise
abzuleiten,  und  endlich  die  Logarithmen  sowohl  als  die  Differenzen
auf  die  verlangte  Zahl  von  20  Decimalen  zu  beschränken.  Die  Richtigkeit ­
  der  eben  gemachten  Bemerkungen  stellt  sich  am  besten  an
einem  Beispiele  vor  Augen;  der  Kürze  wegen  unterlasse  ich  es  hier
ein  solches  durchzuführen.
Ihrer  Natur  nach  bilden  zwar  die  Logarithmen  unserer  Tafel  eine
unendliche  arithmetische  Reihe,  welche  aber  durch  die  Beschränkung ­
  auf  20  Decimalen  zu  einer  endlichen  Reihe  des  vierten
Ranges  wird,  weil  die  vierten  Differenzen  gleich  sind,  nämlich  2i/ 3 .
Durch  die  ganze  Tafel  bilden  demnach  auch  die  gleichnamigen
Differenzen  arithmetische  Reihen,  und  zwar  die  dritten  Differenzen
eine  Reihe  des  ersten,  die  zweiten  Differenzen  eine  Reihe  des  zweiten,
und  die  ersten  Differenzen  eine  Reihe  des  dritten  Ranges,  Auf  der