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Herr  m  a  n  n.  Verbesserung  der

Die  7.  Decimale,  als  2.  Ziffer  in  der  ersten  Differenz  des
log.  101150;
„  12.  „  in  jedem  der  letzten  7  Logarithmen
(log.  101173  bis  log.  101179);
„16.  „  als  6.  Ziffer  in  der  zweiten  Differenz  des
log.  101179.
Alle  übrigen  Fehler  der  letzten  31  Logarithmen  beziehen  sich
auf  die  18.,  19.  und  20.  Decimalstelle,  so  zwar,  dass  die  Zahl  der
letzten  zwei  oder  drei  Ziffern  der  Callefschen  Logarithmen  bei
22  Logarithmen  zu  gross,  und  bei  9  Logarithmen  zu  klein  ist.  Die
erste  Gattung  dieser  Fehler  steigt  bis  zu  einem  Unterschiede  von  16,
die  zweite  Gattung  bis  zu  einem  Unterschiede  von  36.
Die  grossen  Widersprüche  in  den  Callet'schen  dritten  Differenzen ­
  verdienen  hier  besonders  besprochen  zu  werden.  Die  Ursache
der  Veränderungen  in  den  dritten  Differenzen  liegt  natürlich  in  den
vierten  Differenzen,  welche  zwar  in  der  Tafel  nicht  ausdrücklich
angeführt  sind,  aber  dennoch  berücksichtigt  werden  mussten,  weil
sie  auf  die  5.  Ziffer  (20.  Decimale)  der  dritten  Differenzen  unmittelbar ­
  einwirken.  Innerhalb  der  Ausdehnung  der  ganzen  II.  Tafel
beträgt  nämlich  die  vierte  Differenz  sehr  nahe  2,5,  wobei  das  angewendete ­
  Decimalzeichen  nur  den  Abschluss  hinter  der  20.  Decimale
(als  der  letzten  in  der  Tafel)  bezeichnet.  Bei  der  strengen  Beschränkung ­
  auf  20  Decimalen  muss  demnach  die  vierte  Differenz  alternativ
2  und  3  sein;  oder,  was  dasselbe  ist,  um  diesen  Werth  der  vierten
Differenz  muss  die  dritte  Differenz  fortwährend  verkleinert  werden.
Wir  können  uns  von  der  grossen  Schärfe  des  Werthes2,5  für  die
vierte  Differenz  sehr  leicht  überzeugen,  wenn  wir  den  Unterschied
der  dritten  Differenzen  vom  ersten  und  letzten  Logarithmus  der  Tafel
(vom  log.  101000  und  log.  101179)  durch  den  Unterschied  ihrer
entsprechenden  Zahlen,  nämlich  durch  101179  —101000  =  179
(d.  h.  durch  die  Anzahl  aller  Logarithmen)  dividiren.  Es  ist  nämlich
84301-83854  447  q  /inyci  i  ^  i  o  m
179  =  ^9  =  *>4972...,-  also  sehr  nahe  2,5.
Betrachten  wir  die  Callet’schen  dritten  Differenzen,  so  finden
wir  sie  keineswegs  mit  dem  erwähnten  Gesetze  einer  regelmässigen
Abnahme  in  Übereinstimmung.  Abgesehen  von  den  Ungleichheiten
der  Unterschiede  überhaupt,  sind  von  32  dritten  Differenzen  2  und  2
einander  gleich,  und  18  Differenzen  sind  so  verunstaltet,  dass  von  je
zweien  die  nachfolgende  grösser  als  die  vorhergehende  ist.  Der