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448  Spitzer.  Beinerl  einigen  über  ausgezeichnete  Linien  krummer  Flächen.
findet  man  daher  irgend  eine  Function  ip  (x,y,z)  =  o  und  drei  Zahlen ­
  a 3  b 3  c 3 ,  die  hloss  der  Bedingung  unterworfen  sind
«1*+&I*  +  C| , =  1
welche  mit  Zuziehung  der  vorgelegten  Gleichung  die  Gleichungen
(G)  identificiren,  so  gibt  es  im  Allgemeinen  eine  höchste  oder  tiefste
Linie  in  der  Ebene  s,  =  Const.,  oder
a 3 x  b 3 y  -\-  c 3 z  —  Const.
Nehmen  wir  als  Beispiel  die  Gleichung  einer  Bingfläche,  die  ist:
[Qe 3  -f  y*  -j-  s 3 )  —  (a 3 -]-»' 3 )] 3  —  4« 3 (V 3  —  s 3 )  =  0
für  dieselbe  erhält  man:
~  =  ix  [(.x'2  ■{-  yz  +  z 3 )  —  (« 3  -1-  r 3 )]
~  =  iy  [(a: 3  -f?/ 3  +  z 3 )  —  (« 3  +  »’ 3 )]
iz  [(x~  +  2/ 3  +  s 3 )  —  (a 3  +  r 3 )]  +  8  « 3  z
Die  ersten  zwei  Differential-Quotienten  haben  den  gemeinschaftlichen ­
  Factor
*a? 3  -f-  y z  -f-  z 3  —  (a 3  -\-  ?’ 3 )
also  sind  die  Gleichungen  einer  höchsten  oder  tiefsten  Linie  der
Ringfläche:
(  [(a? 3  i/ 3 -|-z 3 )  —  (a 3 -j-?' 3 )] 3  —  4a 3  (r 3  —  z 3 )  =  0
|  (a? a  ?/ 3  -J-  s a )  —  (« 3  +  r 3 )  =  o
oder  reducirt
(  z  =  +  r
j  x 2  y 2  —  a 3
was  doch  eigentlich  von  seihst  klar  ist.
Die  hier  gemachten  Betrachtungen  beruhen  durchgehends  auf
der  Voraussetzung,  dass  für  grösste  und  kleinste  Werthe  gewisser
Functionen  deren  erster  Differential-Quotient  Null  sein  müsse.  Hätten
wir  aber  noch  jene  Fälle  beachtet,  wo  der  erste  Differential-Quotient
unendlich  wird,  so  würden  wir  auf  Kanten  geführt  worden  sein,
welche  hie  und  da  auf  krumme  Flächen  wirklich  vorhanden  sind.