Bemerkungen  über  ausgezeichnete  Linien  krummer  Flächen.  445

Um  daher  die  höchsten  und  tiefsten  Linien  einer  Fläche
s  =  cp  O,  v/)
zu  finden,  bilde  man  sich  die  Ausdrücke:
dy  Q  ,  ?/)  3y  Q  ,  y)
rix  ’  8)/
und  sehe,  ob  sie  einen  gemeinschaftlichen  variablen  Factor  besitzen.
Sei  einer  vorhanden,  und  heisse  dieser
$  (®,  y)
so  untersuchet  man,  oh  für  alle  Werthe,  die  der  Glei-8
  </“
cliung  ty(x,y)  —  o  genügen,  positiv  oder  negativ  sei,  im  ersten
Falle  ist  die  Curve,  deren  Gleichungen
(  z  =  <p  O  ,  y)
\  O,  y)=  o
sind,  eine  tiefste,  im  zweiten  eine  höchste;  ist  aber  —/'fQ r
8*/“
tp(x,y)  —  o)  gleich  Null,  so  bleibe  man  bei  dem  ersten,  für
ip  (x,y)  =  o  nicht  verschwindenden  Glied  der  Reihe

d s  y  (,r  ,  y)  8 4  y  (.r  ,  y)  8 5  y  (x  ,  y)
8  </ 3  ’  8i/ 4  ’  8i/ 5
stehen,  ist  nun  —  dieses  erste,  so  hat  man  eine  höchste  oder
8  y"
tiefste  Linie,  wenn  n  gerade  ist,  und  weder  eine  höchste,  noch  eine
tiefste,  wenn  n  ungerade  ist.
(Es  könnte  auch  sein,  das  die  vorgelegte  Fläche  höchste  und
tiefste  Linien  besitzt,  deren  eine  Gleichung  <p  (x,y)  —  oo  ist,  diese
Linie  hätte  dann  offenbar  die  Gestalt  einer  Kante  oder  Schneide.)
Es  ist  äusserst  merkwürdig,  dass  die  Gleichungen  solcher
höchsten  und  tiefsten  Linien  den  Differential-Gleichungen  der  kürzesten ­
  Linien  auf  der  Fläche  genügen,  trotzdem  die  Krümmungshalbmesser ­
  dieser  Linien  in  der  Tangirungs-Ebene  der  Fläche  selbst
liegen,  und  nicht  Normalen  der  Flächen  sind.
Man  kann  sich  leicht  von  der  Richtigkeit  des  eben  ausgesprochenen ­
  Satzes  überzeugen,  denn  bekanntlich  sind  die  Gleichungen
der  kürzesten  Linie  auf  der  Fläche,  deren  Gleichung  F  (x,y  ,s)  =  o
ist:

dF

±[  »'  1
Lui  -Fi/ 3  +  *' b J

F(x,y,z~)  =  o
r

8  F
1h

8.v  |[y  i

Tä 7 *]