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Spitzer.

Ich  nenne  nämlich  höchste  oder  tiefste  Linien  auf  krummen  Flächen ­
  solche  Linien,  deren  sämmtliche  Punkte  dieselbe  Höhe  haben,
deren  nächste,  aber  ausser  ihnen  liegende  Punkte  entweder  alle  tiefer
oder  alle  höher  liegen.
Um  zu  untersuchen,  in  welchen  Fällen  die  Linien,  deren  Gleichungen ­

s  =  ?  O  >  !J)
P  o  •  V)  =  o

(3)

sind,  und  die  man  sich  in  der  Form
h

(4)  \  y  =  f  O)
aufgestellt  denken  kann,  eine  höchste  oder  tiefste  Linie  der  Fläche
s  =  f  (x,y)  ist,  gehe  man  von  ihr  zu  anderen  auf  derselben  Fläche
in  unmittelbarer  Nähe  liegenden  über,  etwa  dadurch,  dass  man  y  um
oy  wachsen  lässt,  unter  dy  eine  beliebige  Function  von  x  verstanden,
die  stets  sehr  kleinen  numerischen  Werth  hat.
Man  erhält  sonach  als  Gleichungen  von  in  der  Nähe  der  Linie
(3)  auf  der  Fläche  s  =  <p  (x,  y')  liegenden  Linien  folgende:
m  S  *  =  ?  o  ’  y)
C  J  j  V  =  fO)  f  %•
Die  Substitution  y=f  (x)  -j-Sy  in  z—f  (x,  y)  und  darauffolgende ­
  Entwickelung  nach  Taylor’s  Reihe  gibt:
dij 3  a 3 *
'  8r  ''•••

d  %

i  i  \  dx>  .
=  A  +  ^-Blöder ­

  da  gy  wegen  des  innehabenden  Factors  p  (x,y)  gleich

Null

wird

8 3 a

,  ,  dy‘~  8 3 «  .
s==/i  +

Behält  für  alle  Punkte  der  Curve  p  (x,y)  =  o  einerlei  Zeichen, ­
  so  ist  offenbar  die  Linie  (3)  eine  höchste  oder  tiefste,  sollte

8 3  <p

„  j  stets  Null  werden,  so  müsste  man  das  nächste  Glied  der  Reihe  zu
o  y
Ratlie  ziehen,  ist  dieses  positiv  oder  negativ,  so  hat  man  weder
eine  höchste,  noch  eine  tiefste  Linie;  ist  es  aber  auch  Null,  so  entscheidet ­
  das  Zeichen  des  vierten  Differential-Ouotienten  u.  s.  f.