Bemerkungen  über  ausgezeichnete  Linien  krummer  Flächen.  443
ist.  Das  sind  die  Gleichungen  von  Curven,  die  all  die  Eigenschaften
jener  Linien  besitzen,  die  wir  bei  der  Auflösung  höherer  Gleichungen
begegneten,  und  zu  denen  wir  unmittelbar  selbst  gekommen  wären,
hätten  wir,  der  Kürze  der  Rechnung  wegen,  nicht  bloss  reelle  Coefficienten
  bei  denselben  vorausgesetzt.
Wir  verweisen  wegen  ihrer  von  uns  bemerkten  höchst  merkwürdigen ­
  Eigenschaften  auf  ein  von  uns  veröffentlichtes  Memoire
„Allgemeine  Auflösung  der  Zahlengleichungen  mit  Einer  oder  mehreren ­
  Unbekannten.”
Ein  nicht  minder  beachtenswerlher  Fall,  der  sich  hei  der  Integration ­
  der  Gleichung
pdy  —  q  dx  =  o
darbieten  kann,  ist  der,  wenn  sich  aus  p  und  q  ein  variabler  Factor
absondern  lässt,  mithin  obige  Gleichung  in  folgender  Form  auftritt:
'P  0>?/)  (Pdx  -j-  Q  dy)  =  o
alsdann  sind  die  Gleichungen  des  stärksten  Falles  oder  der  stärksten
Steigung
(  s  =  <f>  (x  ,  y)  1  a  =  cp  (a?  ,  ij)
|  ty(x  ,y)  =  o  j  Pdx  -j-  Qdy  =  o
Das  erste  System  dieser  Gleichungen  entspricht  offenbar  einem
in  einer  Horizontal-Ebene  liegenden  Curvenzug,  denn  p  (x,?/)  =  o
bringt  ja  identisch  p  und  q  auf  Null;  dies  hat  zur  unmittelbaren
Folge,  dass  sämmtliche  an  diese  Curven  gezogenen  Tangenten  horizontal ­
  laufen,  also  ist  diese  Curve  selbst  eine  horizontale,  ihre  Gleichungen ­
  haben  somit  die  Form:
(  s  =  h
{'Pix  ,y)  =  o
unter  li  eine  constante  Zahl  verstanden.  Man  wird  um  diese  Formänderung ­
  ihrer  Gleichungen  zu  bewirken  f  (x,  y)  durch  ^  (x,  y)
dividiren,  ist  der  Quotient  f  (x,y)  und  der  Rest  h,  so  hat  man
s  =  tp  (x,y)  =  ip  (x,y)  .  f(x,y)  -|-  //,
was  sich  für  tp  (x,y)  =  o  auf  z  —  h  zurückzieht.
Das  sind  wieder  höchst  merkwürdige  Linien  der  Fläche
3  =  v  (x,  if),  und  zwar  im  Allgemeinen  höchste  oder  tiefste  derselben.
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