Bemerkungen  über  ausgezeichnete  Linien  krummer  Flächen.  44  1

so  hat  man  einen  Sattel  [hinkt,  von  welchem  nebst  den  zwei,  schon
früher  erwähnten  Niveaulinien  noch  zwei  Linien  auslaufen,  die  auf
einander  senkrecht  stehen,  und  die  Richtung  des  stärksten  und
schwächsten  Falles,  und  die  der  stärksten  und  schwächsten  Steigung
rnarkiren.
Die  bisher  gemachten  Schlüsse  finden  aber  nicht  mehr  Statt,
wenn

?•  =  o,  s  =  o,  t  —  o
ist,  in  diesem  Falle  muss  man  weitere  Discussionen  einleiten,  die  aber
in  speciellen  Fällen  nicht  schwer  sein  dürften.
Wenn  man  daher  von  einem  beliebigen  Punkte  M  einer  krummen
Fläche  übergeht  zu  einem  nächsten,  unter  allen  den  Punkt  M  umgebenden ­
  tiefst  oder  höchst  gelegenen,  von  diesem  wieder  zu  einem
ganz  analog  liegenden  u.  s.  f.,  so  erhält  man  eine  Curve,  welche
bekanntlich  „Linien  des  stärksten  Falles”  genannt  wird.  Für  dieselbe ­
  muss  nebst  der  Gleichung  z  —  <p  (x,y)  noch  die  Gleichung
p  sin  a.  —  q  cos  «  =  o
stattfinden,  wo  p  und  q  bestimmte  Functionen  von  x  und  von  y  sind.
Durch  Multiplication  mit  einem  unendlich  kleinen  Factor  p  erhält  man:

oder  da
ist,

p  p  sin  a  —  q  p  cos  a  —  o
p  sin  a  =  dy,  p  cos  a  =  dx
p  dy  —  q  dx  =  o

und  dies  ist  die  Differential-Gleichung  der  horizontalen  Projection
der  Linie  des  stärksten  Falles  der  Fläche  s  =  <p  (x,  y).
Von  jedem  höchsten  Punkte  der  Fläche  (wenn  nur  nicht  für  denselben ­
  r=s  =  t—o  ist)  geht,  wie  wir  gezeigt  haben,  eine  Linie
des  schwächsten  und  eine  des  stärksten  Falles  aus,  erstere  nennen
wir  Kamm,  letztere  Thalweg.
Es  ist  somit  Kamm  oder  Wasserscheide  eine  durch  den  höchsten
Punkt  der  Fläche  gehende  Linie  des  schwächsten  Falles,  Thalweg
hingegen  eine  durch  den  höchsten  Punkt  der  Fläche  gehende  Linie
des  stärksten  Falles.  Ist  der  Kamm  eine  geschlossene  Linie,  und  befindet ­
  sich  innerhalb  der  Contour  der  horizontalen  Projection  dessel-Sitzb.

  <1.  mathem.-natunv.  CI.  X.  ßd.  III.  Hit.

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