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S  p  i  t  l  a  r.

Für  die  Linien  des  stärksten  oder  schwächsten  Falles,  und  für
die  Linien  der  stärksten  und  schwächsten  Steigung,  wofür  o
ist,  hat  man:
2s  cos  2a  +  (t  —  r)  sin  2a  =  o
d.  h.
lang  2a  —
hieraus  folgen  für  a,  welches  wie  schon  gesagt-,  positiv  und  kleiner
als  360°  sein  muss,  vier  Werthe
«„  a,+90»,  «,  +  lSO»,  «,  +  270»,
welche  zu  zwei,  auf  einander  senkrecht  stehenden  Richtungen  führen.
Setzt  man  jetzt  für  «  in  Az  und  -die  Werthe  a,  oder
180°  +  a,,  so  erhält  man:
(  As  =  (r  cos 3  a,  +  2s  sin  a,  cos  «,  +  t  sin  3 a,)+  ..  •
(1)  |  3
/-~  p 2 (—2«  stn  2a,  +  (t—»■)  cos  2a,)  +  ..  .
und  setzt  man  a,  +  90°  oder  a,  +  270°,  so  erhält  man:
3
As  =  y(r  sin 3 «,  —2s  sin  a,  cosa,+£cos 3 a,)+..  •
-  =  p 3 (2s  sin  2a,  —  (t  —r)  cos  2a,)  +.  .  •
Ist  nun  wieder  Mein  höchster  oder  tiefster  Punkt,  so  haben
offenbar  die,  den  Systemen  (1)  oder  (2)  entsprechenden  Werthen
von  As  dasselbe,  hingegen  die  zweiten  Differential-Quotienten  derselben ­
  das  entgegengesetzte  Zeichen;  also  laufen,  falls  M  ein  höchster ­
  Punkt  ist,  von  demselben  zwei  Curven  nach  abwärts  aus,  eine
mit  dem  stärksten,  die  andere  mit  dem  schwächsten  Fall;  ist  aber  M
ein  tiefster  Punkt,  so  erheben  sich  von  demselben  zwei  Curven,  eine
mit  der  kleinsten,  die  andere  mit  der  grössten  Steigung.
Für
s 3  —  rl  —  o
folgt  fast  dasselbe;  nur  fällt  alsdann  die  Linie  des  schwächsten  Falls,
oder  die  der  schwächsten  Steigung  mit  der  Niveaulinie  zusammen,
und  ist  endlich

s 3 -—  rt  >  o