Bemerkungen  über  ausgezeichnete  Linien  krummer  Flächen.  439

ist;  in  diesem  Falle  hat  man:
As  =  ^-(r  cos a  cc  -j-  2s  sin  cc  cos  cc  -j-1  sin a
was,  falls  r  nicht  Null  ist,  sich  so  schreiben  lässt:
^  p a  (r  cos  cc  +  $  sin  a) a  +  (rt—s a )  sin a  a
2  r  +  •  •  •
ferner
=  -^  [  2s  cos  2«  -j-  (f—  r)  sin  2«)]  -4-  •  •
=  p~  [—  2s  sin  2«  (t  —  r)  cos  2a)]  -|-  ..
für  die  durch  Mgehende  Linie  ohne  Fall  ist:
r  cos"  a  -j-  2s  sin  a  cos  cc  -\-t  sin 3  cc  —  o
woraus
.  —s  ±  V  s a  —  rt
tgcc  =  ?
folgt,  und  dies  wird,  sobald  der  in  Rede  stehende  Punkt  ein  höchster
oder  tiefster  ist,  imaginär;  weil  in  diesem  Falle,  wie  aus  der  zweiten ­
  Gleichung  für  As  zu  sehen,  s"  —  rt  <o  sein  muss.  Man  kann
daraus  folgern,  dass  durch  einen  höchsten  oder  tiefsten  Punkt  keine
Linie  ohne  Fall  oder  ohne  Steigung  geht.  —  Ist  für  den  Punkt  M,
wofür  schon  p  =  o,  q  —  o  ist,  auch  noch
s"  —.rt  —  o
so  werden,  wie  wieder  aus
.  p a  (r  cos  a  +  s  sin  a) 3  .
2  r  '
zu  sehen,  sümmtliche  durch  M  gezogene  Linien  entweder  abfallen,
oder  aufsteigen,  je  nachdem  r  negativ  oder  positiv  ist,  bis  auf  eine,
deren  Richtung  durch  die  Gleichung
r  cos  cc  -j-  s  sin  a  =  o
bestimmt  ist,  und  deren  erstes  Element  wenigstens,  ohne  Fall  und
ohne  Steigung  durch  M  geht,  ist  endlich  s a  —  rt>o,,  so  ist  M
ein  Sattelpunkt  der  Fläche,  und  alsdann  gehen,  wie  sich  klar
emsehen  lässt,  zwei  Linien  ohne  Steigung  und  ohne  Fall  durch  denselben. ­