434 Peche. Bestimmung der Integrale etc. Im sechsten Capitel wird die Gleichung w — o näher betrach tet, um die einfachste Bedingungsgleichung für die repetirte Wurzel der biquadratischen Gleichung zu ermitteln. Es wird zu diesem Zweck die allgemeine cubische Gleichung behandelt, und die Wur zeln auf eine analoge Weise, wie bei der biquadratischen, darge stellt. Es wird dann weiter zu der speciellen Gleichung w = o, deren Coefficienten zwei Bedingungen erfüllen, übergangen, und die Bedingungsgleichung zwischen den Coefficienten für den Fall einer repetirten Wurzel ermittelt. Diese einfachste Bedingungsgleichung hat nunmehr viel einfachere Glieder in halber Anzahl. Die dritte Hauptidee wird endlich im siebenten Capitel behandelt, nachdem sämmtliche frühere Untersuchungen als Behelfe hiefür dienen. Es werden im irrationalen Nenner von achter Abmes sung zwei unbestimmte Grössen so bestimmt, dass beide biquadrati- sche Theile desselben zwei gleiche Wurzelfactoren enthalten. Hier durch zerfällt das Integral in drei Theile, deren irrationale Nenner aber nur von vierter Abmessung sind. Es werden zwei dieser Theile besonders behandelt und durch zweckmässige Substitution und die Annahme von zwei Bedingungsgleichungen, wodurch die Nenner die Form (a? 3 — cc 3 ) (ar a — erhalten, zur weiteren Behandlung vor bereitet. Hierauf wird zur Bestimmung der fünften unbestimmten Grösse die fünfte Bedingungsgleichung der Art gewählt, dass die drei Theile sich auf zwei reduciren, die dann nach bekannten Regeln integrirbar sind. Es erübrigt zwar noch, die einzelnen Integrale in Tafeln zusam menzustellen, welche Arbeit jedoch, mittelst der im dritten bis sech sten Capitel entwickelten Untersuchungen, direct geleistet werden könnte, und von mir, der ich mich mit der Möglichkeit der Lösung begnügte, aus Mangel an Zeit nicht weiter verfolgt wurde. Ferner wäre dieser Gang auch auf die Integrale mit irrationalem Nenner von sechster und höherer Abmessung auszudehnen. Obgleich sich hier die Schwierigkeiten häufen, weil algebraische Gleichungen von die sem Gradenicht lösbar sind, so lassen sich dieselben doch auch auf ähn liche Weise behandeln, wie ich in einer späteren Abhandlung, falls mir die Lage dazu geboten wird, mitzutheilen mir die Ehre Vor behalte.