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IX. Abhandlung: Zindler.
bewiesen zu werden brauchen und auch nicht bewiesen werden
können, wie wir, uns vorläufig dem üblichen Begriff des
Axioms anschliessend, sagen können, heissen Axiome.
Es ist ferner klar, dass die Mathematik, sowie sie nicht
ins Unendliche fortbeweisen kann, auch nicht ins Unendliche
fortdefiniren kann, sondern sich schliesslich auf undefinirte
Begriffe stützen muss, die dem Hörer entweder sofort aus dem
gewöhnlichen Sprachgebrauch schon klar sind, oder durch Um
schreibungen, Beispiele, Synonyma und Warnungen, was man
sich darunter nicht vorzustellen habe, aber jedenfalls ohne
regelrechte Definition klar gemacht werden. Derartige Funda
mentalbegriffe, z. B.: ganze Zahl, Abstand, Richtung, Flächen
inhalt (cf. §. 4), Deckung, Gleichheit von Strecken (§. 5), sind
für ein fortschreitendes System von Definitionen dasselbe, was
die früheren Axiome für ein fortschreitendes System von Rela
tionen sind. Man kann daher diese ,axiomatischen Begriffe'
auch ,Axipme der Definition' nennen zum Unterschied von den
früheren ,axiomatischen Relationsurtheilen' oder ,Axiomen der
Relation'.
Wenn wir den Begriff des Axioms jetzt so erweitern,
dass überhaupt in jeder Classe mathematischer Aussagen alle
letzten Grundlagen darunter verstanden werden, so sind damit
die Arten von Axiomen noch nicht erschöpft. Es kommen
elementare Operationen hinzu, die eo ipso als immer ausführ
bar betrachtet werden, z. B. die Addition ganzer Zahlen, die
Verlängerung einer Geraden. Kurz, wenn man das ,Berechnen'
in den arithmetischen Disciplinen und das ihm analoge ,Con-
struiren' in der Geometrie in seine letzten irreductiblen Schritte
zerlegt, so stösst man auf derartige Fundamentaloperationen,
die deshalb als ,Axiome der Operation' oder speciell in der
Geometrie als ,Axiome der Construction“ oder ,axiomatische
Constructionen' bezeichnet werden mögen. Es ist leicht zu
sehen, dass die Forderungen (am$|xoija) Euklid’s zu ihnen ge
hören, während die meisten Grundsätze Euklid’s Axiome der
Relation sind. Nicht decken sich jedoch seine ,Erklärungen',
die ebenfalls dem Beginne der Entwicklungen vorangestellt
werden, mit den Axiomen der Definition. Denn jene Er
klärungen sind eben Definitionen oder sollen meist vielmehr
blos solche sein, während die Grundlagen der Definitionen bei