Integrale etc.
431
x— p _i_ 1 + m y + n y eingeleitet werden; dadurch wird zwar
der irationale Nenner von achter Abmessung, allein es sind zugleich
fünf unbestimmte Grössen eingeführt, die dem Zwecke, einer einfachen
Lösung gemäss, bestimmt werden können;
3) auf der Wahl jener Bedingungsgleichungen, für welche eine
Zurückführung des einfachsten Integrals auf bereits gelöste mög
lich wird.
Die erste Hauptidee wird im ersten Capitel behandelt und
stützt sich auf drei Lehrsätze:
A. Die Lösung der Integrale
?±Mda; , r ajiwd x
C x±1
J VA + Bx +
VA + B.v + Cx 2 + Dx 3
kann auf die der Integrale
™ d /v
V A+Bx + Cx 3 -f Dx 3 + Ex*
fr
V (.c 2 — a 2 ) (.r 2 —■ ß 2 )
zurückgeführt werden.
Zur Nachweisung dieses Satzes war es nöthig, zuerst das
Integral
Ax
fr
V A + Bx + Cx 2 + Dx s + Ex*
zu behandeln und dabei den gewöhnlichen Gang zu verlassen, weil
derselbe bei der weiteren Behandlung der allgemeinen Integrale nicht
mehr brauchbar wird; ein Umstand, den schon Euler bemerkt und
der ihn wahrscheinlich verleitete, diesen Gegenstand voreilig zu
verlassen.
B. Sämmtliche Integrale
x — n Ax
fr
V (x 2 —a 3 ) (x‘—ß 2 )
sind geschlossen integrirbar, sobald dasselbe von den beiden Integralen
x 2 Ax
f - da: und f
J V (.r 2 —a 2 ) (x 2 ~ß 2 ) J\
gilt.
V (a: 3 —a 3 ) (x 2 —/S 2 )
C. Das Integral
f
.r 3 d.r
lässt sich auf das andere
\ (x 2 —a 3 ) (x 2 —ß 2 )